فهرست مطالب - محاسبات و آنالیز عددی

1-1 اعـــــداد 8

1-1-1 نمایش‌ اعشاری‌ اعداد 8

1-1-2 اعــداد دودوئـی‌ 8

1-1-3 الگــوریتم‌ تبــدیل‌ دهــدهی به‌ دودوئـی‌ 9

1-1-4 کســــرهای‌ دودوئــی‌ 10

1-1-5 رقـــمهای‌ با معــنـی 11

1-1-6 گـــرد کـردن‌ عــددها 11

1-1-7 نمایش علمی اعداد 12

1-2 خــــطـاها 13

1-2-1 خــطاهای‌ ذاتـــی‌ 13

1-2-2 خــطاهـای‌ محـاسبـاتــی‌ 14

1-2-3 خــطای‌ مطـلق‌ و خــطای‌ نـسبـی‌ 15

1-2-4 قـضیــــه‌ 15

1-2-5 قـضیــــه 16

1-2-6 انـباشتــگی خــــطا در محـاسبـات‌ 17

1-3 یــادآوری‌ حساب‌ دیـفرانسیـل‌ و انتــگرال (1)‌ 18

1-3-1 تعـریـف‌ 18

1-3-2 تـعـریف‌ 18

1-3-3 قــضیـه‌ 18

1-3-4 قــضیـه 18

1-3-5 قــضیة‌ رول‌ 19

1-3- 6 قـضیـة‌ مقــدار میانــگین‌ 20

1-3-7 قضیة کشی 21

1-3-8 قضیة‌ مقدار نهایی‌ 21

1-3-9   قــضیـه‌ رول‌ تعمیـــــم‌ یافتـه‌ 22

1-3-10   قــضیـه‌ مقــدار میانــی‌ 22

1-3-11 قضیـة تیلور 23

1-3-12 قضیة قاعدة زنجیری 23

1-3-13 قضیة میانگِین برای تابع دو متغیره 23

1-3-14 قضیة تیلور برای تابع دو متغیره 24

1-3-15 تعریف نمادهای O و o 24

1-4 یاد آوری حساب دیفرانسیل و انتگرال (2) 25

1-4-1 تعریف 25

1-4-2 قضیه 25

1-4-3 قضیة فشار 25

1-4-4 تعریف 25

1-4-5 سری های توانی 26

1-4-6 نمایش یک سری به صورت تابع 27

1-4-7 اعمال جبری سری ها 27

1-4-8   بسط یک تابع به سری 28

1-4-9 قضیة لایب نیتز (آزمون سری های متناوب) 29

1-5 یادآوری حساب دیفرانسیل و انتگرال (3) 30

1-5-1 اولین قضیة اساسی 30

1-5-2 دومین قضیة اساسی 30

1-5-3 قضیة مجموع ریمان 31

1-5-4   تکنیکی ساده برای انتگرال گیری جـزءبه جـــزء 31

1ـ6 برنامه های کامپیوتری 32

1-6-1 تبدیل مبنا 32

1-7 تمــــرینـات‌ ‌ 34

عــــرفـــــان 1 36

2-1 چندجمله‌ای‌های‌ درونیاب‌ 38

2-1-1 مقــــدمه 38

2ـ1ـ2 درونیابی‌ خـــــطی‌ 38

2-1-3 چندجمـــــله‌ای ‌درونـیاب‌ 39

2ـ1ـ4 روابــط‌ بـین‌ ضـرایب‌ و ریــشه‌های چـندجـمله‌ای‌ درجة n 40

2-1-5 درونیابــی‌ لاگرانــژ 41

2-1-6   خـطا در درونـیابــی‌ 42

2-2 درونیابی نیوتن 43

2-2-1 تـفاضـلات‌ تـقسـیــــم‌ شـده‌ 43

2-2-2 چنـد جملــه‌ای‌ درونیـاب‌ نیــــوتـن 44

2-2-3 الگوریتم چند جمله ای درونیاب نیوتون : 45

2-2-4   قضیه 45

2-2-5   الگوریتم تفاضلات تقسیم شده 47

2ـ2ـ6 تفاضـلات‌ مــتناهـی‌ 47

2ـ2ـ7 نــمادهای مخـتلف تفاضـلات متناهـی 48

2-2- 8 چند جمله‌ای‌ درونیاب‌ نیوتن‌ - گریگوری‌ 50

2ـ2ـ9 خـطا در درونیابـی نیـــــوتن ‌ 53

2ـ3 برازش 54

2-3-1 مقدمـــــه 54

2-3-2 روش حداقــل مربــعات 54

2ـ4 درونیابــی هرمــیت 56

2ـ5 درونیابی با توابع اسپلاین 58

2-5-1 تعریف 58

2- 5 -2   اسپلاین درجة 3 58

2-5-3 محاسبة M_i ها 59

2-5-4 الگوریتم حل دستگاه سه قطری اسپلاین مکعبی 61

2-6 چندجمله ای های چبیشف 62

2-6-1 تعریف 62

2-6-2   خواص چندجمله ای های چبیشف 62

2-6-3   می نیمم کردن خطای چندجمله ای درونیاب 63

2-7 برنامه های کامپیوتری 64

2-7- 1   P- PROGRAM 1 64

2-7-2         PROGRAM 2-P 65

2-7-3          PROGRAM 3-P 67

2-7-4         PROGRAM 1-C 69

2-7-5         PROGRAM 2-C 70

2-7-6          PROGRAM 3-C 72

2-8 تمـــرینـات 74

عـــــرفــــــان 2 79

3-1 قضایا و تعاریف اولیه 82

3-1-1 مقـــدمه 82

3-1-2 تعریف 83

3-1-3 قضیـــه 84

3-1-4 قضیـــه 84

3 - 1- 5 قضایایی در مورد ریشه های حقیقی یک چند جمله ای 84

3-2 روش منصف 86

3-2-1 بیان روش 86

3-2-2 الگوریتم روش منصف 86

3-2-3 همگرائی روش منصف 87

3-3 درون یابی خطی یا روش نابجائی 91

3-3-1 بیان روش 91

3-3-2 الگوریتم روش نابجایی 92

3-4 روش تکراری نقطة ثابت¹ 94

3-4-1 تعریف نقطة ثابت 94

3-4-2 بیان روش 94

3-4-3 شرایط تابع g 95

قضیه : 95

3-4-4 الگوریتم روش تکراری نقطة ثابت 98

3-4-5 نمایش هندسی روش تکراری نقطة ثابت 98

3-4-6 تعریف مرتبة همگرایی 99

3-4-7 سرعت همگرایی روش نقطة ثابت 100

3-5 روش آیتکن¹ 101

3-5-1 بیان روش 101

3-5-2 الگوریتم روند Δ² ایتکن 101

3-6 روش نیوتون - رافسون 102

3-6-1 بیان روش 102

3-6-2 شرایط تابع f (x) در روش نیوتون - رافسون : 103

3-6-3 تعبیر هندسی روش نیوتون - رافسون : 104

3-6-5 سرعت همگرائی در روش نیوتون – رافسون 106

3-6-7 الگوریتم هورنر 108

3-6-8 مقایسة روش هورنر و روش معمولی از نظر عملیات حسابی لازم 108

3-7 روش وتری 109

3-7-1 بیان روش 109

3-7-2 همگرائی روش وتری 111

3-8   برنامه های کامپیوتری 112

3-8-1    P - Program 1 112

3-8-4       P - Program 4 117

3-8-5       C - Program 4 120

3-9 تمرینات : 122

عــــــرفــــــان 3 126

4-1 ماتریس ها 128

4 . 1 . 1 تعریف 128

4 . 1. 2 ترا نهادة یک ماتریس 128

4 . 1 . 3 ماتریس های خاص 128

4 . 1 .4 اعمال سطری مقدماتی 130

4 . 1 . 5 ماتریس مزدوج 130

4 .1 . 6 ماتریس ترا نهاده مزدوج 130

4 . 1. 7 . ماتریس هرمیتی 131

4 . 1 . 8 ضرب دو ماتریس 131

4 . 1 .9 دترمینان یک ماتریس 131

4 .2      حل دستگاههای خطی با روشهای مستقیم 132

4-2 -1 مقدمه 132

4-2 -2 حل دستگاه معادلات توسط دستور کرامر 133

4-2-3 حل دستگاه بالا مثلثی : 133

4-2-4 حل دستگاه در حالت کلی: 134

4-2-5 روش حذفی گوس.

4-2-6 الگوریتم حذف گوس برای حل دستگاه خطی 137

4-2-7 روش گوس - جردن 137

4-2-8 محور گیری : 138

4-2-9 معکوس ماتریس : 139

4-2-10 ماتریس متعامد 141

4-2-11 ماتریس های بلوکی (افراز شده) 142

4-2-12 حل دستگاه سه قطری : 142

4-2-13 الگوریتم حل دستگاه سه قطری 143

4-2-14 تجزیه یک ماتریس با روش های دولیتل- کرات- چولسکی 143

4-2-15 الگوریتم تجزیة- کرات 144

4-2-16 کاربرد تجزیة ماتریس 145

4-2-17 ماتریس های تبدیل 147

4-2-18 الگوریتم حل دستگاه با استفاده از تعویض 147

4-3 روشهای تکراری 147

4-3-1 مقدمه: 147

4-3-2 روش ژاکوبی 148

4-3-3 روش گوس - سایدل یا روش جایگذاری متوالی¹ 150

4-3-4 قضیه : 152

4-3- 5 الگوریتم روش گوس ـ سایدل : 152

4-4 حل دستگاههای غیر خطی 153

4-4-1 مقدمه 153

4-4-2 روش نقطة ثابت 153

4-4-3 روش نیوتون 155

4-5 مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ¹ 156

4-5-1 تعریف 156

4-5-2 قضیه 159

4-5-3 روشهای تکرار ی برای محاسبة مقادیر ویژه و بردارهای ویژه 161

4-5-4   الگوریتم روش توان 162

4-6 ............................................................................................. نرم ها 164

4-6-1 نرم برداری 164

4-6-2 انواع نرم های برداری 164

4-6-3 نرم ماتریسی 164

4-6-4 تعریف نرم ماتریسی با نرم بردار 165

4-6-5 انواع نرم های ماتریسی 165

4-6-6 شعاع طیفی ماتریس 166

4-6-7 تعریف 166

4- 7 برنامه های کامپیوتری 166

4-7-1    Program 1 – P 166

4-7-2    Program 1 -- C 169

4-7-3    Program 2 – P 173

4-7-4    Program 2 -- C 176

4-7-5    Program 3 – P 180

4-7-6     Program   3 – C 183

4-7-7     Program 4 – P 187

4-7-8     Program 4 – C 191

4-7-9     Program 5 – P 197

4-7-10     Program 5 – C 199

4-7 تمرینات 206

عـــــرفـــــان 4 209

5-1 مشتق 211

5-1-1 مشتق تابع درون یاب 211

5 -1-2   فرمولهای مشتق 212

5-1-3 مشتق مراتب بالاتر 213

5-1-4 خطا در مشتق گیری عددی 214

5-1-5 قضیه 216

5-1-6   فرمولهای تفاضل مرکزی 217

5-2 انتگرال گیری عددی 217

5-2-1 مقدمه 217

5-2-2 قضیة میانگین در انتگرال ها 218

5-2-3 فرمولهای انتگرال گیری نیوتون – کاتس 219

5-2-4 قضیه 220

5-2-5 دستور مرکب ذوزنقه 221

5-2-6 دستور مرکب سیمپسون 222

5-3 روشهای انتگرال گیری گوس 224

5-3-1 مقدمــــــه 224

5-3-2   فرمول دونقطه ای گوس - لژاندر 225

5-3-3 خطا در روش های گوس 226

5-3-4   فرمول گوس - لژاندر در بازة دلخواه 227

5-3-5   فرمول ذوزنقه تصحیح شده 228

5-3-6   قاعدة نقطة میانی 228

5-3-7   خطا در نقطة میانی 229

5-4 روشهای انتگرال گیری بازگشتی 230

5-4-1 انتگرال گیری رامبرگ : 230

5-4-2 قاعدة ذوزنقة بازگشتی : 232

5-4-3 قاعدة سیمپسون بازگشتی : 233

5-4-4 تعریف 234

5-4-5 بهبود ریچاردسون برای انتگرال گیری رامبرگ 235

5-5 برنامه های کامپیوتری 237

5-5-1 Program 1-P 237

5-5-2   Program 1-C 238

5-5-3 Program 2 -P 240

5-5-4 Program 2-C 241

5-5-5 Program 3-P 243

5-5-6 Program 3-C 245

5-6 تمرینات 248

عــــــرفــــــان 5 251

6-1 خلاصه ای از حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل 254

6- 1-1 مقدمه 254

6-2 معادلات تفاضلی 256

6-2-1 تعریف 256

6-2-2 معادلات تفاضلی همگن با ضرایب ثابت 257

6-2-3 معادلات تقاضلی غیرهمگن با ضرایب ثابت 258

6-3 حل عددی معادلات دیفرانسیل (روش های گام به گام) 259

6-3-1 مقدمه 259

6-3-2 روش سری تیلور 260

6-3-3 الگوریتم تیلور از مرتبة k 261

6-3-4 روش اولر 262

6-3-5   خطا در روش اولر 263

6-4 روش های رانگ- کوتا 264

6 -4 -1 روش رانگ – کوتای 2 264

6-4-2 رانگ - کوتای مرتبة چهار 266

6-5   پایداری 267

6-6   دستگاه های معادلات دیفرانسیل 268

6-6-1 تبدیل معادلة مرتبة . به یک دستگاه 268

6-6-2 روش اولر برای حل دستگاه ها 268

6-7 روشهای چندگامی 271

6-7-1 روش هون یا پیشگوی تصحیح کنندة ساده 271

6-7-2 محاسبة خطا در روش هون 272

6-7-3 روش آدمز - بشفورد 273

6-7-4 الگوریتم مرتبة چهارم برای . 275

6-7-5 خطا در روش آدمز - بشفورد 275

6-7-6 پیشگویی تصحیح آدمز - مولتن 276

6-7-7 الگوریتم روش مرتبة چهارم A.M. 277

6-8     مسائل مقدار مرزی 279

6-8-1 مقدمه 279

6-8-2 روش تفاضلات متناهی 280

6-8-3 برونیابی ریچاردسون 282

6-8-4 روش پرتابی خطی 283

6-9   برنامه های کامپیوتری 285

6-9-1   Program 1-P 285

6-9-2   Program 1-C 286

6-9-3     Program 2-P 288

6-9-4   Program 2-C 291

6-9-5      Program 3-P 295

6-9-6       Program 3-C 297

6-9-7      Program 4-P 301

6-9-8      Program 4-C 303

6-10   تمرینات 307

عــــــرفـــــــان 6 309

پیوست 312

پ 1 . اثبات همگرایی در روش وتری 312

پ 2 . ماتریس معین مثبت و معین منفی 313

حل تمرینات 314

7-1 حل تمرینات فصل اول 314

7-2 حل تمرینات فصل دوم 319

7-3 حل تمرینات فصل سوم 328

7-4 حل تمرینات فصل چهارم 335

7-5 حل تمرینات فصل پنجم 341

7-6 حل تمرینات فصل ششم 348

سؤالات چهار جوابی 357

پاسخ سؤالات چهارجوابی 369

منابع فارسی 385

مراجع انگلیسی 386

نظرات ()